A Equação diferencial (14.7) do Tópico anterior é utilizada para descrever o processo de difusão nas condições indicadas na Figura 14.e. As condições de contorno ou hipóteses devem ser assumidas neste caso:
1-Para 
, 
para 
.
2-Para 
, 
para 
e 
para 
.
A solução da equação diferencial (14.7), aplicando-se estas condições de contorno, é a seguinte:
(14.8)
A função 
é a integral normalizada de probabilidade ou função de erro de Gauss. A função de erro de Gauss (1) é definida como:
(14.9)
em que 
é a variável z. Os valores da função de erro de Gauss z=erf(y), como de outras funções matemáticas comuns são tabuladas.
Aplicando-se a Equação (14.8) é possível avaliar quantitativamente a informação da Figura 14.e num gráfico padrão único. Isto é feito na Figura 14.f, que mostra o gráfico de 
em função de z aplicandos-se a Equação (14.8). Os valores de 
podem ser encontrados na Tab. 14.1.
Tab. 14.1. Tabela da função de erro de Gauss.
A importância da curva mostrada na Figura 14.f está na inter-relação existente entre a distância, o tempo, o coeficiente de difusão e a concentração, durante a difusão. Se 
, 
e 
forem conhecidos num material, 
deve ser uma função do parâmetro adimensional 
. Se desejamos dobrar a profundidade de penetração, o tempo de difusão deverá ser quatro vezes maior. De modo geral, para uma profundidade n vezes maior que a original, o tempo de difusão deverá ser multiplicado por 
. As variações no coeficiente de difusão são equivalentes às variações no tempo de difusão, ou seja, se D for dobrado, metade do tempo será necessário para se atingir a mesma profundidade. Para se produzir uma determinada concentração numa certa região de um material, ou para se conseguir difundir para dentro do material uma certa fração da quantidade necessária à saturação total, é necessário apenas manter o mesmo valor de 
, em que L é uma dimensão que caracteriza o tamanho do objeto.
A Figura 14.g apresenta um exemplo de aço cementado. Uma barra de aço com 0,24%p de carbono inicial foi aquecida a 870°C na presença de carbono em excesso. As áreas ricas em carbono foram escurecidas com ataque químico.
Figura 14.f – Uso da função de erro de Gauss na difusão.
Figura 14.g – Fotomicrografia de um aço cementado, cuja porcentagem inicial de carbono era de 0,24%p.